ANALISIS VEKTOR

ANALISIS VEKTOR

  A.   Besaran-besaran skalar dan vektor

• Besaran-besaran skalar adalah besaran-besaran fisika atau kimia yang hanya memiliki harga mutlak (harga absolut) dan tidak memiliki arah tertentu.

Contoh besaran skalar :

·         Waktu (t)

·         Temperatur (T)

·         Volume (V)

·         Resistansi (R)

·         Kapasitansi (C)

• Besaran-besaran vektor adalah besaran-besaran fisika atau disiplin ilmu teknik yang memiliki harga absolut dan arah tertentu.

Contoh besaran vektor :

·         Gaya (F)

·         Kecepatan (v)

·         Percepatan (a)

·         Intensitas medan listrik (E)

Simbol yang biasa digunakan untuk besaran-besaran vektor adalah huruf yang dicetak tebal atau huruf yang dilengkapi dengan tanda anak panah diatasnya. Sebagai contoh,  vektor F ditulis F atau .

Arah vektor ditunjukkan oleh arah vektor satuannya a, yang dilengkapi dengan subskrip huruf yang menjadi simbol besaran vektor tersebut. Sebagai contoh vektor gaya F ditulis F = Fa_F dimana F adalah harga absolut vektor F, | F |. Di dalam sistem koordinat kartesian tiga dimensi, sembarang vektor F dapat ditulis

F = Fa_F = F_x + F_y + F_z = F_xa_x + F_ya_y+F_za_z

Dimana F = harga absolut vektor F.

Uraian tiga dimensi dari vektor satuan a_F adalah :

a_F = F_x/Fa_x + F_y/Fa_y + F_z/Fa_z = cos aa_x + cos βa_y + cos ga_z

dimana

a = sudut antara sumbu x dengan vektor satuan a_F

β = sudut antara sumbu y dengan vektor satuan a_F

g = sudut antara sumbu z dengan vektor satuan a_F

Adalah koefisien-koefisien arah disepanjang sumbu x, sumbu y dan sumbu z dari vektor F.

  B.    Aljabar vektor

Aljabar vektor terdiri dari perkalian antara besaran skalar dengan besaran vektor, penjumlahan atau pengurangan dua atau lebih besaran vektor, perkalian titik atau perkalian skalar antara dua besaran vektor, dan perkalian vektor antara dua atau lebih vektor.

Perkalian bilangan skalar dengan vektor

Perkalian bilangan skalar dengan suatu besaran vektor akan menghasilkan sebuah vektor baru, yang arahnya tidak berubah tetapi harga absolut vektor baru tersebut adalah harga vektor sebelumnya dikalikan dengan bilangan skalar tadi.

Perkalian bilangan skalar dengan besaran vektor mengikuti hukum-hukum berikut ini:

      1.    Hukum Asosiatif : (k + l)(A + B) = k(A + B) + l(A + B), k dan l adalah bilangan skalar.

2.   Hukum Distributif : (k + l)(A + B) = kA + kB + lA + lB

Pejumlahan dua vektor atau lebih

Penjumlahan sembarang vektor A dan sembarang vektor B akan menghasilkan vektor baru C yang mengikuti hukum-hukum berikut ini :

     1.    Hukum komutatif

A + B = B + A = C

 

                                                     

Secara grafik, vektor C  adalah diagonal dari jajaran genjang yang sisi-sisinya adalah vektor A dan vektor B.

Dengan demikian, harga absolut vektor C ditentukan oleh harga absolut vektor A, harga absolut vektor B, dan sudut antara vektor A dan vektor B, dengan demikian harga absolut vektor C akan mengikuti aturan cosinus berikut ini :

C = (A² +  B² + 2AB cos q)^1/2

      2.    Hukum Asosiatif

(A + B) + C = A + (B + C) = (A + C) + B

Perkalian titik antara dua vektor

Perkalian titik antara sembarang vektor A dengan sembarang vektor B akan menghasilkan besaran skalar . Sifat perkalian titik ini mengikuti hukum komutatif :

A . B = B . A = C

   = |A| |B| cos

Dimana adalah sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B.

Perkalian titik antara sembarang vektor A dengan sembarang vektor B dalam sistem  koordinat kartesian tiga dimensi adalah

Sehingga sudut antara sembarang vektor A dan sembarang vektor B adalah :

Contoh Soal

Jika diketahui vektor AB = 3a_y+ 4a_y+ 5a_y m dan vektor AC = 2a_x + 3a_y + 3a_z m, tentukan luas segitiga ABC 

Solusi

            AB       = harga abolut vektor AB = (3² + 4² + 5² )^1/2

                        = 7,07 meter

            AC       = harga abolut vektor AC = (2² + 3² + 3² )^1/2

                        = 4,69 meter

            cos   = (3)(2)+(4)(3)+(5)(3) / (7,07)(4,69)

    = 5,73

                        Dengan demikian, kita peroleh

Luas segitiga ABC      =  AB.AC.sin   = AB.AC = ½ .7,07.4,69 sin 5,73

                                    = 1,66 m²

Produk Titik antara Vektor Satuan Sistem Koordinat Karesian dengan Sistem Koordinasi Silinder

Produk Titik antara Vektor Satuan Sistem Koordinat Kartesian dengan Sistem Koordinasi Bola

 

Perkalian Silang antara Dua Vektor

Perkalian Silang (cross product) antara dua vektor yang berlainan jenis besaran fisiknya akan menghasilkan vektor baru yang jenis besaran fisiknya juga berbeda. Sebagai contoh, perkalian silang antara vektor momen magnetik m dengan vektor rapat fluks magnetik B akan menghasilkan vektor energi torsi magnetik T. Jika vektor m memiliki satuan ampere meter² dan vektor rapat fluks magnetik B meiliki satuan tesla (T), maka vektor torsi magnetik memiliki satuan Joule

T = m X B Joule

Perkalian silang antara vektor kecepatan v dari muatan titik Q dengan vektor rapat fluks magnetik B yang serbasama (homogen) menghasilkan vektor gaya Lorenz persatuan muatan. Perkalian silang antara vektor arus listrik I yang mengalir pada kawat lurus sepanjang l dengan vektor rapat fluks B yang serbasama disekitar kawat lurus yang dialiri arus I akan mnghasilkan vektor gaya per satuan panjang, yang juag sering disebut vektor gaya Lorenz persatuan panjang. Vektor momen torsi mekanik T adalah perkalian silang antara vektor jarak r dengan vektor gaya F. Demikian juga, vektor poynting P adalah produk silang antara vektor kuat medan listrik E dengan Vektor kuat medan Magnetik H.  

P = E x H Wm^-2

Secara umum, perkalian silang antara sembarang vector A dengan sembarang vector B akan menghasilkan vector C, namun perkalian ini tidak bersifat komutatif, karena

A x B = -B x A = C

Dimana vector C tegak lurus dengan vector A dan juga tegak lurus vector B

C A dan C B

Harga absolute vector C adalah dimana adalah sudut antara vector A dan vector B

Berikut ini adalah perkaian silang antara vector-vektor satuan didalam system koordiant kartesian :

a_x x a_y = -a_y x a_x = a_z 

a_y x a_z = -a_z x a_x = a_x 

a_z x a_x = -a_x x a_z = a_y

Dengan demikian, perkalian silang antara sembarang vector A dengan vector B didalam system koordinat kartesian tiga dimensi adalah

A x B = ( A_xa_x+ A_ya_y + A_za_z ) x ( B_xa_x+ B_ya_y + B_za_z )

                        = (A_yB_z - A_zB_y )a_x + (A_zB_x – A_xB_z )a_y + (A_xB_y – A_yB_x )a_z

                        = C_xa_x + C_ya_y + C_za_z

Jadi harga absolut vector C adalah

            C = (A²_x + A²_y + A²_z) ^½ (B²_x + B²_y + B²_z) ^½ sin

                = ((A_yB_z – A_zB_y)² + (A_zB_x – A_xB_z)² + (A_xB_y – A_yB_x)²)^1/2                             (1.1)

Dari persamaan (1.1) kita peroleh

Contoh Soal

Muatan titik Q = 50 C bergerak dengan kecepatan v = (3a_x + 4a_y) m/s didalam vector induksi magnetik yang homogen B = (4a_x + 5a_y + 5a_z) mT

Tentukan :

(a)  gaya Lorentz per satuan muatan pada Q

(b)  sudut antara vector v dan B,

(c)  vector gaya, F

Solusi

(a)  F/Q = v B = (3a_x + 4a_y) (4a_x+5a_y+5a_z) 10^-3 N/C

                   = (20a_x – 15a_y –a_z)  10^-3 N/C

(b) = (400 +225 +1 )^1/2 10^-3 = 25,04.10^-3

                 = (3² + 4²)^1/2 m/s = 5 m/s

                  |B| = (4² + 5² + 5²)^1/2 .10^-3= 8,2.10^-3 T

                  Dari hasil diatas kita peroleh

            Maka

= sin ^-1 (0,7106) = 37,64

(c) F = Q(v x b )

   = 5 x 10 ^-5 (20a_x- 15a_y-a_z) x 10 ^-3 N

   = (100a_x – 75a_y­  - 5a_z) x 10^-8 N

  C.    Vektor Jarak

Vektor jarak dari sebuah titik ke titik lain atau vektor jarak dari sebuah titik ke sebuah bidang tertentu penting dipelajari karena kita akan membutuhkannya dalam pemecahan persoalan-persoalan tertentu.

Vektor Jarak dari titik ke titik

Vektor jarak dari sembarang titik A (x_A, y_A, z_A) ke sembarang titik B (x_B, y_B ,z_B ) adalah

                        r_AB = (x_B-x_A)a_x + (y_B-y_A)a_y + (z_B-z_A)a_z                                                               (1.2)

Sedangkan vektor jarak dari sembarang titik B (x_B, y_B ,z_B ) ke sembarang titik

A (x_A, y_A, z_A) adalah

                        r_BA = (x_A-x_B)a_x + (y_A-y_B)a_y + (z_A-z_B)a_z                                                           (1.3)

Contoh Soal

Diketahui titik A (1,2,3) m, titik B (4,6,8)m dan titik C (3,3,5) m, Tentukan :

(a). r _AB’

(b). r_AC’

(c). , sudut antara r _AB’ dan r_AC’ dan

(d). Luas segitiga ABC.

solusi

(a)  Vektor r_AB = (4-1)a_x + (16-2)a_y + (8-3)a_z = 3a_x + 4a_y + 5a_z;

  = (9+16+25)^1/2 =7,05 m

(b)  Vektor r_AC = 2a_x+ a_y + 2a_z  m; = 3 m

(c)  Sudut antara vektor r_AB dan vektor r_AC’ , dapat diperoleh  dari penurunan rumus perkalian titik antara vektor r_AB dan r_AC, yaitu

 

(d)  Luas segitiga ABC =

Vektor Jarak dari Titik ke Bidang

Misalkan kita ingin mengetahui vektor jarak dari sembarang titik P (x_p,y_p,z_p) ke sembarang bidang u: A_x+B_y+C_z =D, kita memerlukan titik-titik potong antara bidang u dengan sumbu –x, sumbu –y, dan sumbu –z yang secara berturut-turut adalah : D/A, y =D/B, dan z = D/C. Ambil jarak titik asal O ke bidang u =  a, cos = a A/D; cos = a B/D; cos= a C/D.

                          Vektor satuan normal u

                                             (1.4)

Vektor garis  normal N disepanjang a_N’, atau vektor jarak bidang u ke titik asal O adalah

Bidang yang melalui titik ( x_p, y_p, z_p) dan sejajar bidang u adalah bidang w.

                        Ax + By +Cz = Ax_p + By_p + Cz_p = D’

Dari persamaan(1.4) diperoleh

           

Maka

                                              (1.5)

Atau                                    (1.6)

Kita misalkan adalah jarak dari bidang w ke titik asal O, maka

                    (1.7)

Jadi scalar dari titk P ke bidang u adalah jarak dari bidang w ke bidang u, yaitu atau

                                         

Vektor jarak dari titik P ke bidang u adalah r_pu = da_n’  maka

(1.9)